対象はJDLAの「数理・統計」Q15・Q16です。公式正解は Q15＝A：相関係数・偏相関係数・共分散・分散の対応、Q16＝C：期待値3.5。Q16の確率分布の図も公式ページで確認してください。
Q15：似た名前の統計量を分ける
分散は、一つの変数が平均からどれほど散らばるかを表します。各値と平均の差を二乗し、平均する考え方です。値が常に同じなら分散はゼロです。
共分散は、二つの変数がそれぞれの平均から同じ方向へ動くかを表します。同じ方向に動きやすければ正、逆方向なら負になります。ただし単位や尺度が変わると数値も変わります。
相関係数は、共分散を両変数の標準偏差で割って尺度をそろえたものです。通常のピアソンの相関係数は -1 から 1 の範囲です。1 に近ければ強い正の直線的関係、-1 に近ければ強い負の直線的関係です。0 は「直線的な関係が見えにくい」ことであり、あらゆる関係がないという意味ではありません。
偏相関係数は、第三の変数の影響を統計的に取り除いたうえで、二つの変数の関係を表します。たとえば気温が高いとアイスの売上も水難事故も増える場合、気温を調整して両者の関係を調べます。それでも因果関係が証明されるわけではありません。Q15は「一つの変数」「二つの変数」「尺度調整」「第三の変数の調整」の四段階で対応づけると解けます。
Q16：確率と値の積を足す
期待値は、起こり得る値を確率で重み付けして足した平均です。離散変数なら E[X] = Σ_x xP(X=x)。公式問題では、公平な六面体のサイコロの各目 1,2,3,4,5,6 がいずれも 1/6 なので、E[X]=(1+2+3+4+5+6)/6=21/6=3.5 です。
一回のサイコロで 3.5 が出るわけではありません。多数回振ったときの出目の平均が近づく値です。問題文が別の確率を与えていたら、単純平均ではなく各値とその確率の積を足します。たとえば 1 が確率 0.8、6 が確率 0.2 なら期待値は 1×0.8+6×0.2=2 です。
自分で確かめる
練習：二つの変数の関係を、測定単位に左右されにくい -1 から 1 の値で表したいときは何を使いますか。0 が確率 0.75、4 が確率 0.25 で出るときの期待値はいくつですか。
解答：相関係数と期待値 0×0.75+4×0.25=1 です。
覚える一行：分散は一変数、共分散は二変数、相関は尺度調整、偏相関は第三の変数を調整します。
参照：JDLA公式問題と解答、現行シラバス。